アルド
前回は3の倍数と9の倍数の判定法を学びましたが，なぜそうなるのか，簡便のため，例えば5桁の数でやってみましょう。
5桁の整数は
10000a＋1000b＋100c＋10d＋e
と表される（a, b, c, d, eは1桁の非負整数とする）
10000a＋1000b＋100c＋10d＋e
＝(9999＋1)a＋(999＋1)b＋(99＋1)c＋(9＋1)d＋e
＝3×3(1111a＋111b＋11c＋d)＋(a＋b＋c＋d＋e)
ここで，初項の3×3(1111a＋111b＋11c＋d)は
3の倍数でもあり，9の倍数でもある。
よって，第2項のa＋b＋c＋d＋eが3の倍数であれば，
10000a＋1000b＋100c＋10d＋eも3の倍数である。
同様に，第2項のa＋b＋c＋d＋eが9の倍数であれば，
10000a＋1000b＋100c＋10d＋eも9の倍数である。
アルド
桁数が変わっても同様に証明できます。N桁の数字なら
10N-1×a1＋10N-2×a2＋…
などとして，計算してみてください。
塾生
3の倍数が判定できれば，6の倍数は「一の位が偶数で，各位の数の和が3の倍数」ということになるんですね。
アルド
同様に，12の倍数は「下2桁が4の倍数で，各位の数の和が3の倍数」として判定できます。
塾生
他の数にも，まだ判定法があるんですか？
アルド
実はですね。11の倍数は「各位の数を交互に足し引きした結果が11の倍数」で判定できます。足し引きするので0やマイナスの場合も含みます。
塾生
例えば929819なら9ー2＋9ー8＋1ー9＝0だから，
929819÷11＝84529
すごい。割り切れた。
アルド
この証明は次回にしましょう。さらに，7と11と13についても，同時に判定できる方法があるのですが，これも別の機会にしましょう。
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