はじめに
本日は余りのある割り算について，小学校算数から高校数学まで一気に学びましょう。
小学校算数では余りを求めたけど，中学数学以降は分数表記だったから余りを求めなかったわよね。
しかし数学では余りこそ重要なのです。
用語と小学校算数での表記
まずは用語を押さえましょう。主に小学校で使う和語による用語と，主に高校以降で使う漢語による用語，そして英語名を掲載します。また，文字\(m\), \(n\), \(q\), \(r\)は整数とします。
| 文字 | 和語 | 漢語 | 英語 |
|---|---|---|---|
| \(m\) | 割られる数 | 被除数 | dividend |
| \(n\) | 割る数 | 除数 | divisor |
| \(q\) | 割り算の答え | 商 | quotient |
| \(r\) | 余り | 剰余 | remainder |
例えば\(11 \div 5\)について余りを求める場合，現在の小学校の教科書ではこのように書きます。
\(11 \div 5 = 2\) あまり \(1\)
あたしはこのように習ったわ。
\(11 \div 5 = 2 \cdots 1\)
私の時代の教科書もそうでした。点3つで「あまり」と覚えたものです。
今はきちんと「あまり」って書くのね。しかもひらがなで。
昔の教科書は点3つで済んでいたから，書くのは早そうです。
点3つにしても，言葉で「あまり」と書くとしても，数学的には正式な書き方ではありませんが，商と余りの概念を身につけるためには必要な表記かもしれません。
商と余りは1つに決まる
割り算に限らず，計算にはルールがあります。
0で割ってはいけないとか。
時々SNSなどで0で割る算数のテストが取り上げられたりするけど，あれはネタ……よね？
小学校教員になるためには，数学が得意である必要はないため実話の可能性もあります。
それは困るから，アルドさんと勉強しなきゃ。
0で割ってはいけない理由は機会があれば別に説明しますが，小学校算数の割り算で最重要なルールは「余りは割る数より小さい」ということです。例えば\(11 \div 5\) は「2あまり1」とすべきであり，「1あまり6」としてはならないのですね。
筆算していて，余りの過不足が分かると再計算という憂鬱が待っています。
ところで，1あまり6にも意味がある場合があります。例えば「11個の品物を5人に分配する」だけなら「2個ずつ分配して，1個余る」となりますが，仮に「11個の品物を5人に分配するが，3個以上残しておきたい」という条件なら「1あまり6」です。
このような条件のシチュエーションもありうるわね。
ただし，算数のテストとしては答えを1つに決める必要がありますので「余りは割る数より小さい」という制約を設けています。
なるほど。
中学校で習う割り算
中学校では負の数を習うけど，負の数まで拡張すれば\(11 \div 5\) は「3あまり-4」とも言えるわね。
そうですね。そのような考え方は合同式を扱うときに役立ちます。
でも，中学校で余りのある割り算をした記憶がないわ。割り算はそのまま分数に直していなかった？
算数と違い，数学では余りそのものを計算で求めることを重要視しません……多分。
負の数まで拡張しても，商と余りは1つに決めなければならないのですよね。
そうですね。中学数学では\(m\)も\(n\)も負になる可能性があります。これにより商\(q\)も正負どちらか（または0）になるのですが，余り\(r\)は必ず正の数（または0）です。
中学数学教科書には\(m\)と\(n\)の正負による\(q\)の正負判定法が書かれています。
\( mn > 0 \Longrightarrow q > 0 \) （ \(m\), \(n\)が同符号なら\(q\)は正）
\( mn < 0 \Longrightarrow q < 0 \) （ \(m\), \(n\)が異符号なら\(q\)は負）
\( m = 0 \Longrightarrow q = 0 \) （ \(m\)が0なら\(q\)は0）
中学数学では余りのある割り算をする機会が少ないと思いますが，商と余りを1つに決めるため，余りは正の数とします。
割るが負の数だったらどうしますか？
その場合は割る数の絶対値と比較します。絶対値記号は高校数学で習うのですが，とりあえず数式を書いてみましょう。
\( |n| > r \ge 0\)
（\(r\)は\(n\)の絶対値よりも小さく，0以上）
これで\(m\)と\(n\)の符号組み合わせ4パターンの商と余りが決まるわね。
\(11 \div 5 = 2\) あまり \(1\)
\(-11 \div 5 = -3\) あまり \(4\)
\(11 \div (-5) = -2\) あまり \(1\)
\(-11 \div (-5) = 3\) あまり \(4\)
すごいですね。
高校数学での割り算の表記
さて，余りを表記するのに点3つや，ひらがなで「あまり」と書くのは数学的に厳密ではありません。よって，高校以降ではこのように表記します。
\(m = qn +r\)
（\(n \neq 0\), \(|n| > r \ge 0\)）
シンプルね。
この数式でも商と余りが成り立つか確認してみましょう。
\(11 = 2 \times 5 +1\)
\(-11 = -3 \times 5 +4\)
\(11 = -2 \times (-5) +1\)
\(-11 = 3 \times (-5) +4\)
なるほど。
ちなみにこの式の形は，多項式にも拡張されます。
高校数学では整数を体系的に習わないから，余りといえば多項式だったわね。
整数を体系的に理解して，合同式なども使いこなせるようになれば，日本の科学的リテラシーも上がることでしょうが……数学のカリキュラムって，どうしてこんなにスカスカなんでしょう。
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