前回は「3つの辺の長さ」が確定した場合の三角形の面積の式を紹介しました。
$$S=\frac{1}{4}\sqrt{ (a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) }$$
この式を\(2s=a+b+c\)を使って書き換えた形は，ヘロンの公式と呼ばれているわね。
$$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$
さて，「3つの辺の長さ」が確定した場合の三角形の面積は，別の表現方法もあります。前回は以下の式のルートの中身を因数分解しましたが，今回は逆に展開してみましょう。
$$S=\frac{1}{4}\sqrt{4b^{2}c^{2}-(b^{2}+c^{2}-a^{2})}$$
$$=\frac{1}{4}\sqrt{4b^{2}c^{2}-(b^{4}+c^{4}+a^{4}+2b^{2}c^{2}-2c^{2}a^{2}-a^{2}b^{2})}$$
$$=\frac{1}{4}\sqrt{4b^{2}c^{2}-2b^{2}c^{2}+2c^{2}a^{2}+2a^{2}b^{2}-b^{4}-c^{4}-a^{4} }$$
$$=\frac{1}{4}\sqrt{2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4}) }$$
$$=\frac{1}{4}\sqrt{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^2-(a^{4}+b^{4}+c^{4})-(a^{4}+b^{4}+c^{4}) }$$
$$=\frac{1}{4}\sqrt{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^2-2(a^{4}+b^{4}+c^{4}) }$$
きれいな形だけど，2乗や4乗にして使い道あるの？
例えば\(a\), \(b\), \(c\)がルートを含む値の場合は，2乗すればルートがなくなるので計算しやすくなります。
確かに，辺の長さは必ずしも有理数とは限らないわね。
必ずしもこれらの式が多用されるわけではありませんが，導く過程で様々な公式を使うことになります。自分で式変形できるようにしておくとよいでしょう。
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