合同式の形と基本公式

数学/Math
塾生
塾生

先日はドンジャラの話から,合同式という数学の話になりました。

ミライ姐
ミライ姐

高校数学でも発展的内容なのよね。でも役に立つ……早く教えて。

アルド
アルド

例えば整数\(a\)を整数\(n\)で割った余りと,整数\(b\)を整数\(n\)で割った余りが等しい場合,このように表現します。

\[a \equiv b \pmod{n}\]

アルド
アルド

読み方は色々ありますが「\(a\)合同\(b\)モッド\(n\)」「\(n\)を法として\(a\)と\(b\)は合同」などが一般的です。法(molulo)とは「割る数」という意味です。

塾生
塾生

そうするとドンジャラの話は\(1 \equiv 4 \equiv 7 \pmod{3}\)などと表記されるのですね。

アルド
アルド

その通りです。

ミライ姐
ミライ姐

これはどのように役立つの?

アルド
アルド

まずは関係式を見てみましょう。

\(a \equiv b \pmod{n}\)
\(c \equiv d \pmod{n}\)
の2式が成り立っているとき,以下も成り立つ。

\(a + c \equiv b + c \pmod{n}\)
\(a – c \equiv b – c \pmod{n}\)
\(ac \equiv bd \pmod{n}\)
\(a^{p} \equiv b^{p} \pmod{n}\)

ミライ姐
ミライ姐

合同式は和,差,積,累乗でも成り立つのね。割り算はできるの?

アルド
アルド

条件がありますが,このような関係式があります。

\(ak \equiv bk \pmod{n}\)が成り立ち,
\(k\)と\(n\)が互いに素であるとき,以下も成り立つ。
\(a \equiv b \pmod{n}\)

アルド
アルド

合同式を使うと,余りだけに着目して計算を進めることができます。具体的な使用方法や,これらの式の証明などは次回説明しましょう。

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