三角形の面積(第3話)

数学/Math
ミライ姐
ミライ姐

今回は「1つの辺の長さと,その両端2つの角度」が確定した場合の三角形の面積の求め方を紹介します。

アルド
アルド

まずは前回の復習から。基本となる「2つの辺の長さと,その挟む1つの角度」が確定した場合です。

$$S=\frac{1}{2}bc\sin A$$

アルド
アルド

今回は辺\(a\)の長さと,その両端の角度\(B\)と\(C\)が与えられているものとします。ここまでの値が確定すると,残りの辺\(b\)と\(c\)の長さは正弦定理から次のように求められます。

$$b=\frac{a\sin B}{\sin A}$$
$$c=\frac{a\sin C}{\sin A}$$

アルド
アルド

これを面積\(S\)の式に代入しましょう。

$$S=\frac{1}{2}bc\sin A$$
$$=\frac{1}{2} \frac{a\sin B}{\sin A} \frac{a\sin C}{\sin A}\sin A$$
$$=\frac{1}{2}\frac{a^{2}\sin B\sin C}{\sin A}$$
$$=\frac{1}{2}\frac{a^{2}\sin B\sin C}{\sin \{180^\circ -(B+C)\} }$$
$$=\frac{1}{2}\frac{a^{2}\sin B\sin C}{\sin (B+C)}$$

塾生
塾生

辺\(a\)と角度\(B\)と\(C\)だけの式になりました。

ミライ姐
ミライ姐

高校数学の教科書では見かけない式だけどね。でも式変形をすることは勉強になるわね。

アルド
アルド

次回紹介する「3つの辺の長さ」が確定した場合の三角形の面積も,実用よりは式変形を楽しむ用途が強いのではと思います。

ミライ姐
ミライ姐

次回もお楽しみに。

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