倍数の見分け方(上級編)

数学/Math
アルド
アルド

前回は11の倍数の判定法を学びましたが,なぜそうなるのか,簡便のため,例えば3桁の数でやってみましょう。

3桁の整数は100a+10b+cと表される。
(a, b, c, d, eは1桁の非負整数とする)

100a+10b+c
=10(10a+b)+c
=(11ー1)(10a+b)+c
=11(10a+b)ー(10a+b)+c
=11(10a+b)ー10aーb+c
=11(10a+b)ー(11ー1)aーb+c
=11(10a+b)ー11a+aーb+c
=11(9a+b)+aーb+c

ここで,初項の11(9a+b)は11の倍数でもある。

よって,第2項のaーb+cが11の倍数であれば,
100a+10b+cも11の倍数である。

アルド
アルド

桁数が変わっても同様に証明できます。11で括れればよいのですね。

塾生
塾生

前回,7と11と13についても,同時に判定できる方法があると聞きました。

アルド
アルド

そのためには準備が必要です。7×11×13はいくつですか。

塾生
塾生

1001。わかりやすい数が出てきました。1001で括れれば,うまくいきそうです。

アルド
アルド

証明は次回にしましょう。

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